1.2_预备知识_等价关系.ZH解释

这句话是对上一节内容（此处未提供，但根据上下文可知是关于对称群 $S_X$ 的定义）的一个总结，它点出了 $S_X$ 作为一个群（这是后续章节的核心概念）所必须具备的三个基本特征。让我们一步步拆解：

1. “换句话说，”: 这是一个承上启下的短语，表明接下来要用更具体、更结构化的语言来重新描述或总结前面的概念。
2. “$S_{X}$”: 这里的 $X$ 是一个任意的非空集合。$S_X$ 指的是所有从集合 $X$ 到其自身的双射（bijection）函数构成的集合。双射意味着这个函数既是单射（injective，不同的输入对应不同的输出）又是满射（surjective，输出集合中的每个元素都至少有一个输入与之对应）。
3. “在复合运算下是封闭的”: 这条性质被称为封闭性（Closure）。
   • 复合运算：指的是函数的复合（composition of functions）。假设我们有两个函数 $f$ 和 $g$，它们都是 $S_X$ 的成员（即它们都是从 $X$ 到 $X$ 的双射）。那么它们的复合 $f \circ g$ 也是一个函数，其定义为：对于 $X$ 中的任意元素 $x$，$(f \circ g)(x) = f(g(x))$。意思是先对 $x$ 应用函数 $g$，得到结果 $g(x)$，再对这个结果应用函数 $f$。
   • 封闭的：意思是，如果你从集合 $S_X$ 中任意取出两个元素（这里是两个双射函数 $f$ 和 $g$），对它们进行复合运算，得到的结果（新的函数 $f \circ g$）必然也存在于 $S_X$ 中。我们在之前的章节已经证明过，两个双射的复合仍然是一个双射。因此，这个运算不会“跑出” $S_X$ 这个集合的范围。
4. “包含 $X$ 上的恒等函数”: 这条性质被称为单位元的存在性（Existence of Identity Element）。
   • 恒等函数：通常记作 $\text{Id}_X$ 或 $e$。它是一个非常特殊的函数，定义为：对于 $X$ 中的任何元素 $x$，$\text{Id}_X(x) = x$。也就是说，这个函数什么也不做，输入什么就输出什么。
   • 包含：意味着这个特殊的恒等函数 $\text{Id}_X$ 本身就是 $S_X$ 的一个成员。这很容易验证，因为恒等函数显然是一个从 $X$到 $X$ 的双射。
5. “并且 $S_{X}$ 的每个元素都有一个逆，该逆也在 $S_{X}$ 中”: 这条性质被称为逆元的存在性（Existence of Inverse Element）。
   • 每个元素：对于 $S_X$ 中的任意一个双射函数 $f$。
   • 都有一个逆：存在一个与之对应的函数，记作 $f^{-1}$，它能够“撤销” $f$ 的操作。具体来说，如果 $f(x) = y$，那么 $f^{-1}(y) = x$。从复合的角度看，这意味着 $f \circ f^{-1} = \text{Id}_X$ 并且 $f^{-1} \circ f = \text{Id}_X$。
   • 该逆也在 $S_{X}$ 中：这是关键。对于一个双射函数 $f$，它的逆函数 $f^{-1}$ 不仅存在，而且它本身也必须是一个双射函数。我们在前面也已经知道，双射的逆必然是双射。因此，$f^{-1}$ 也理所当然地是 $S_X$ 的一个成员。

这段话的目的是计算一个包含 $n$ 个元素的集合所对应的对称群 $S_n$ 中包含多少个元素（即它的阶）。

1. 标准化与简化记号:
   • “对于一个有限集 $X$，若 $\#(X)=n$”: 我们开始讨论有限集，其中 $\#(X)$ 表示集合 $X$ 的基数（cardinality），也就是元素的个数。
   • “我们通常将 $X$ 视为标准的 $n$ 个元素的有限集，即 $\{1, \ldots, n\}$”: 在抽象代数中，我们关心的是结构而不是元素的具体身份。任何一个有 $n$ 个元素的集合，比如 $\{A, B, C\}$ ($n=3$)，和集合 $\{1, 2, 3\}$ 在结构上是等价的。为了方便讨论，我们约定俗成地用 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 这个最简单的集合来代表所有大小为 $n$ 的集合。
   • “并将 $S_{\{1, \ldots, n\}}$ 简写为 $S_{n}$”: 这是一个记号上的简化。$S_n$ 就是指在集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 上的所有双射函数构成的对称群。
2. 计数论证 (排列组合):
   • “通过计数可知，$\#\left(S_{n}\right)=n!$”: 这是本段的核心结论。$\#\left(S_{n}\right)$ 是 $S_n$ 的阶，即 $S_n$ 中元素的数量。$n!$ (n的阶乘) 的定义是 $n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$。
   • “因为要定义一个双射 $f:\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\}$”: 为了计算有多少个这样的函数，我们可以想象自己正在构造一个这样的函数 $f$。构造它需要确定 $f(1), f(2), \ldots, f(n)$ 的值分别是什么。
   • “对于 $f(1)$ 有 $n$ 种可能的选择”: $f(1)$ 的值可以是目标集 $\{1, \ldots, n\}$ 中的任何一个元素，所以有 $n$ 个选项。
   • “但对于 $f(2)$ 只有 $n-1$ 种选择，因为 $f(1)$ 的值已被排除”: 这是关键。因为 $f$ 必须是单射（双射的前提），不同的输入必须有不同的输出。所以 $f(2)$ 不能等于 $f(1)$。既然 $f(1)$ 已经用掉了一个值，那么目标集里只剩下 $n-1$ 个值可供 $f(2)$ 选择。
   • “由于 $f$ 是单射，我们不能有 $f(1)=f(2)$”: 这里明确指出了使用单射性质的原因。
   • “继续下去，对于 $f(3)$ 恰好有 $n-2$ 种选择，……，对于 $f(n-1)$ 有 $2$ 种选择，对于 $f(n)$ 只有一种选择。”: 这个逻辑链条一直延伸下去。确定 $f(3)$ 时，由于 $f(1)$ 和 $f(2)$ 已经占用了两个不同的值，所以只剩下 $n-2$ 个选择。以此类推，直到确定 $f(n-1)$ 时，前面 $n-2$ 个函数值已经用掉了 $n-2$ 个目标值，还剩 2 个选择。最后确定 $f(n)$ 时，只剩下唯一的一个未被使用的目标值，所以只有 1 种选择。
   • “这表明从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的单射总数为 $n(n-1) \cdots 2 \cdot 1=n!$”: 根据乘法原理（如果一个任务可以分步完成，总的方案数等于每一步方案数的乘积），构造一个单射的总方式数就是 $n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$，这正是 $n!$ 的定义。
3. 从单射到双射的转换:
   • “但根据备注 1.5.4，从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的单射与从 $\{1, \ldots, n\}$ 到 $\{1, \ldots, n\}$ 的双射是同一个概念。”: 这是一个非常重要的定理，它只在定义域和陪域是相同大小的有限集时成立。这个定理（有时被称为鸽巢原理的一个推论）说，在这种特殊情况下，只要一个函数是单射，它就自动是满射，从而成为双射；反之，只要是满射，它也自动是单射。
   • “因此 $\#\left(S_{n}\right)=n!$”: 因为我们计算出的单射数量是 $n!$，而在这里单射等同于双射，所以双射的数量自然也是 $n!$。而 $S_n$ 正是所有这些双射的集合，所以 $S_n$ 的大小是 $n!$。
4. 推广到任意有限集:
   • “当然，类似的论证表明，对于任何具有 $\#(X)=n$ 的有限集 $X$，$\#\left(S_{X}\right)=n!$”: 这个结论不依赖于集合元素的具体名称。只要一个集合有 $n$ 个元素，那么为它的第一个元素选择像有 $n$ 种方式，为第二个元素选择像有 $n-1$ 种方式，等等。这个计数过程完全相同。

• “定义 1.6.15.”: 这是一个形式化的定义陈述，给出了前面讨论的集合 $S_n$ 一个正式的名称。
• “集合 $S_{n}$”: 我们再次强调，这是由所有在集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 上的双射函数（也称为置换）构成的集合。
• “是 $n$ 个字母上的对称群”: 这是 $S_n$ 的一个常用名称。
• “$n$ 个字母”: 这里的“字母”是一个历史遗留的说法，可以指代任何 $n$ 个可区分的符号。早期研究置换时，经常用字母（如 a, b, c）来表示被置换的元素。所以“$n$ 个字母”就是指我们操作的那个有 $n$ 个元素的集合。
• “对称群”: “对称”这个词源于它与几何图形对称性的深刻联系。一个几何图形（比如正方形）的对称操作（旋转、翻转）本质上是图形顶点的一个置换。所有这些对称操作构成的集合就是一个群，而且是 $S_n$ 的一个子群（对于有 $n$ 个顶点的图形）。
• “或 $n$ 次对称群”: 这是同一个概念的另一个名字。“$n$ 次”中的“次”可以理解为度数（degree），指被置换元素的个数。

• “2.1. 等价关系的定义”: 这是新一节的标题，预示着我们将要学习一个叫做“等价关系”的新概念。
• “在数学中，有许多情况下我们希望将两个对象视为相同。”: 这句话是引子，点出了等价关系这个工具被发明出来的根本动机。在数学乃至日常生活中，绝对的“相同”是非常苛刻的。我们常常需要在某种标准或角度下，把本质上不同、但我们关心的属性相同的对象“看作”是一样的。等价关系就是用来将这种“看作一样”的想法数学化、严格化的工具。

这个例子用我们熟悉的向量概念来引出等价关系的思想。

1. 定位向量 (Located Vector):
   • “$\mathbb{R}^{2}$ 或 $\mathbb{R}^{n}$”: 这是我们的背景空间，即二维平面或n维欧几里得空间。
   • “一个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p q}}$ 是一个有向线段”: 这是一个有明确起点和终点的箭头。$\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{q}$ 都是空间中的点。箭头的尾巴在 $\mathbf{p}$，头在 $\mathbf{q}$。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中，$\mathbf{p}=(1,1)$, $\mathbf{q}=(3,4)$。
   • “我们说 $\mathbf{p}$ 定位于其起始点 $\mathbf{p}$”: 这句话有点绕，原文似乎有笔误或表述不佳。它想表达的是，这个向量被“锚定”在了点 $\mathbf{p}$。它的位置是固定的。
2. 物理中的向量 (Free Vector):
   • “在物理学中，我们将向量（未定位）视为具有大小和方向的对象”: 物理学家（比如在描述力或速度时）通常不关心一个向量的具体作用点，只关心它的大小（模）和方向。一个在A点的大小为10牛顿向东的力，和一个在B点的大小为10牛顿向东的力，被认为是同一个“力向量”。这种可以自由平移的向量称为“自由向量”。
3. 等价的定义:
   • “在数学上，这意味着如果两个定位向量 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$ 具有相同的大小和方向 ... 则它们定义相同的向量”: 这就是核心思想。我们现在要定义一种“相同”的标准。$\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{1}} \mathbf{q}_{\mathbf{1}}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{\mathbf{2}} \mathbf{q}_{\mathbf{2}}}$ 是两个不同的定位向量（因为它们的起点和终点不同），但如果它们可以经过平移而完全重合，我们就说它们“等价”，并认为它们代表了同一个“自由向量”。
   • “即线段具有相同的长度、平行并且‘指向同一方向’”: 这是对“相同大小和方向”的几何描述。
   • “即以显而易见的方式具有相同的起始点”: 这句原文再次出现表述问题（"have the same starting point in an obvious way"），它可能是想说“如果把它们平移到同一个起点，它们的终点会重合”。更精确的数学描述在后面的章节会出现，即 $\mathbf{q}_1 - \mathbf{p}_1 = \mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2$。
4. 数学上的标准化处理:
   • “当然，在数学中，我们总是将向量定位于 $\mathbf{0}$”: 为了方便，数学家从所有相互等价的定位向量中，挑选一个最特殊的作为“标准代表”。这个代表就是起点在原点 $\mathbf{0}$ 的那个。
   • “并将定位向量 $\overrightarrow{\text { 0r }}$ 与其另一个终点 $\mathbf{r}$ ... 进行识别”: 既然起点固定为原点 $\mathbf{0}$，那么一个向量就完全由其终点 $\mathbf{r}$ 唯一确定。因此，我们可以进一步简化，直接用点 $\mathbf{r}$ 的坐标来表示这个向量。这就是为什么在线性代数中，我们通常说一个向量就是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点（或一个坐标元组），比如 $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$。

这两个例子继续从几何角度强化“等价”的概念。

• (ii) 全等三角形:
• “在平面几何中，我们经常将两个全等三角形视为相同。”: 假设你在纸上画了一个三角形 $T_1$。然后你用一张描图纸把它描下来，再把描图纸平移、旋转到纸的另一个地方，印出第二个三角形 $T_2$。
• $T_1$ 和 $T_2$ 在纸上的位置不同，是两个不同的图形。但是，由于它们的大小和形状完全一样（可以通过刚体运动相互重合），我们在欧几里得几何中说它们是全等的。
• “视为相同”意味着，当我们在证明一个关于“三角形”的一般定理时（比如勾股定理），我们不关心这个三角形具体在哪里，朝向如何。只要它们全等，它们就共享所有几何性质（边长、角度、面积等）。全等关系就是一个等价关系。

• (iii) 角:
• “我们有时将角视为在一点相交的两条射线”: 这是角的一个几何定义。一个顶点和从该顶点出发的两条射线。
• “并规定如果两个这样的角在适当的意义上是全等的，则它们定义相同的角”: 就像三角形一样，一个在A点张开30度的角和一个在B点张开30度的角，虽然位置不同，但被认为是全等的，代表了同一个“30度角”这个抽象概念。
• “我们也可以将角视为实数 $\theta$”: 这是角的另一种表示方法，即用弧度制下的一个数值来度量它。
• “但对于每个整数 $k$，两个实数 $\theta$ 和 $\theta+2 k \pi$ 定义相同的角”: 这是更深一层的等价。一个角 $\theta = \pi/6$ (30度) 和一个角 $\theta' = \pi/6 + 2\pi$ (390度)，在几何上表示的是同一个方向。因为转了整整一圈 ($2\pi$) 又回到了原来的位置。
• 所以，在实数集 $\mathbb{R}$ 上，我们可以定义一个等价关系：$\theta_1 \sim \theta_2$ 当且仅当 $\theta_1 - \theta_2$ 是 $2\pi$ 的整数倍。所有相互等价的实数（例如 ..., $\pi/6-2\pi$, $\pi/6$, $\pi/6+2\pi$, $\pi/6+4\pi$, ...）共同定义了一个唯一的“角”。

这个例子是等价关系最经典、最重要的应用之一：从整数构造有理数。

1. 有理数的表示:
   • “有理数与分数 $a / b$ 是同一个概念”: 这是我们小学就学到的。一个有理数可以写成两个整数相除的形式。
   • “其中 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$”: 对分数形式的规定：分子 $a$ 和分母 $b$ 都必须是整数，且分母不能为零。
   • “因此由序对 $(a, b) \in \mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 指定”: 这是从更形式化的角度来看待分数。一个分数 $a/b$ 本质上就是一个有序的整数对 $(a,b)$，其中 $a$ 来自整数集 $\mathbb{Z}$，$b$ 来自非零整数集 $\mathbb{Z}-\{0\}$。这个集合 $\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 就是所有可能的分数形式的“原材料”集合。
2. 问题的出现:
   • “但不同的序对 $(a, b)$ 可以定义相同的有理数 $a / b$”: 这是问题的核心。序对 $(1, 2)$ 对应分数 $1/2$。序对 $(2, 4)$ 对应分数 $2/4$。序对 $(-3, -6)$ 对应分数 $-3/-6$。这些序对本身是完全不同的元素，但它们都代表同一个有理数 “0.5”。
   • “事实上，$a / b$ 和 $c / d$ 定义相同的有理数当且仅当 $a d=b c$”: 这句话给出了判断两个分数形式是否代表同一个有理数的判定准则。这就是小学里学的“交叉相乘法”。例如，$1/2$ 和 $2/4$ 代表同一个有理数，因为 $1 \times 4 = 2 \times 2$。
3. 两种处理策略:
   • 策略一：选择“最佳”代表（最简形式）:
   • “一种选择分数 $a / b$ 的‘最佳’描述的方法是约定我们只考虑‘最简形式’的序对 $(a, b)$”: 我们可以规定，一个有理数只能用它的最简形式来表示。
   • “换句话说，使得 $b>0$ 尽可能小，这恰好发生在 $a$ 和 $b$ 没有公因数时”: 这是对“最简形式”的精确定义：1) 分母是正数；2) 分子分母互质（最大公约数为1）。例如，在 $(1,2), (2,4), (-3,-6)$ 中，只有 $(1,2)$ 是最简形式。
   • “但这会导致关于因式分解的复杂问题”: 这个策略听起来不错，但在理论构建上很麻烦。为了定义“最简形式”，你首先需要发展一整套关于整数的整除性、公因数、唯一因子分解（算术基本定理）的理论。这会让有理数的构造依赖于很多高级的数论知识。

• 策略二：使用等价关系（更现代、更抽象的方法）:
• “因此更方便的做法是让 $(a, b)$ 是 $\mathbb{Z} \times(\mathbb{Z}-\{0\})$ 的任意元素”: 我们不筛选，接受所有合法的分数形式（序对）。
• “然后建立一个将某些此类序对视为相等的框架”: 这就是等价关系要登场的地方。我们不再试图挑出一个“最好的”序对，而是把所有代表同一个有理数的序对（例如 $(1,2), (2,4), (-3,-6), \dots$）打包成一个集合，然后说，这个“包”（等价类）本身，就是我们所说的那个有理数。

这段话在给出等价关系的严格定义之前，先给出了“关系”的一般性定义，并将其与另一大类重要的关系——“序关系”——进行对比。

1. “关系”的普适定义:
   • “设 $X$ 是一个集合。$X$ 上的关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集。”: 这是“关系”在数学中最根本、最形式化的定义。
   • $X \times X$: 这是集合 $X$ 与自身的笛卡尔积，即所有可能的序对 $(x, y)$ 的集合，其中 $x$ 和 $y$ 都来自 $X$。
   • 一个子集: 一个关系 $\mathcal{R}$ 就是从 $X \times X$ 这个所有可能性的大集合中，挑出一部分序对构成的一个子集。如果序对 $(x, y)$ 在这个子集 $\mathcal{R}$ 中，我们就说“$x$ 与 $y$ 有关系 $\mathcal{R}$”。如果不在，就说它们没有这个关系。
2. 两种重要的关系类型:
   • “(1) 序关系 (Order Relation)”:
   • 例子: $\leq$ (小于或等于) 或 $<$ (严格小于)。
   • 表示法: 当我们写 $x \leq y$ 时，其形式化的含义是序对 $(x, y)$ 属于一个叫做“小于或等于”的关系集合 $\mathcal{R}_{\leq}$。例如，在实数集 $\mathbb{R}$ 上，$(3, 5) \in \mathcal{R}_{\leq}$，但 $(5, 3) \notin \mathcal{R}_{\leq}$。
   • 核心特征: 序关系通常是用来比较集合中元素的大小、前后、高低等。它的一个关键特性通常是“反对称性”（如果 $x \leq y$ 且 $y \leq x$，那么必然 $x=y$），这与等价关系的“对称性”形成鲜明对比。
   • “(2) 等价关系 (Equivalence Relation)”:
   • 核心特征: “用于‘类似’相等的关系”。它模仿了等号 “=” 的一些关键性质，目的是在某个标准下将元素归类。
   • 表示法:
   • $x \mathcal{R} y$: 比较通用的记法，但不常用。
   • $x \sim y$, $x \cong y$, $x \equiv y$: 这些是更常见的符号，波浪线 $\sim$ 是最通用的，$\cong$ 常用于几何中的全等，$\equiv$ 常用于数论中的同余。
   • “并写成例如 $x \sim y$ 来表示 $(x, y) \in \mathcal{R}$”: 这是一种更符合直觉的中缀表示法，我们把关系符号放在两个元素之间，而不是写成集合论的序对形式。
3. 承上启下:
   • “以下是形式定义：”: 预示着下一段将给出等价关系必须满足的三条具体公理。

这是本节的核心，给出了等价关系的三个判断公理：自反性、对称性、传递性。一个关系必须同时满足这三条，才能被称为等价关系。

• (i) 自反性 (Reflexivity):
• “对于所有 $x \in X, x \sim x$”: 集合中的每一个元素都必须与它自身等价。
• 直观理解: 任何东西都和它自己“一样”。
• 集合论语言: 关系集合 $\mathcal{R}$ 必须包含所有形如 $(x,x)$ 的序对。这些序对构成的集合被称为笛卡尔积 $X \times X$ 的对角线 $\Delta_X$。所以这条公理等价于 $\Delta_X \subseteq \mathcal{R}$。

• (ii) 对称性 (Symmetry):
• “对于所有 $x, y \in X$，如果 $x \sim y$ 则 $y \sim x$”: 如果 $x$ 和 $y$ 等价，那么 $y$ 和 $x$ 也必须等价。这个关系是双向的。
• 直观理解: 如果 A 和 B “一样”，那么 B 和 A 也“一样”。
• 集合论语言: 如果序对 $(x,y)$ 在关系集合 $\mathcal{R}$ 中，那么它的“反向”序对 $(y,x)$ 也必须在 $\mathcal{R}$ 中。

• (iii) 传递性 (Transitivity):
• “对于所有 $x, y, z \in X$，如果 $x \sim y$ 且 $y \sim z$ 则 $x \sim z$”: 如果 $x$ 和 $y$ 等价，并且 $y$ 和 $z$ 等价，那么 $x$ 和 $z$ 也必须等价。这个关系可以“传递”。
• 直观理解: 如果 A 和 B “一样”，B 和 C 也“一样”，那么 A 和 C 肯定也“一样”。
• 集合论语言: 如果序对 $(x,y)$ 和 $(y,z)$ 都在关系集合 $\mathcal{R}$ 中，那么“搭桥”后的序对 $(x,z)$ 也必须在 $\mathcal{R}$ 中。

这段话试图用几何的语言来解释等价关系三公理的含义，特别是将关系 $\mathcal{R}$ 想象成坐标平面 $X \times X$ 上的一个图形。

1. 自反性的几何意义:
   • “(i) 表明对角线 $\Delta_{X}=\{(x, x): x \in X\}$ 是 $\mathcal{R}$ 的一个子集”:
   • 对角线 $\Delta_X$: 想象一个平面 $X \times X$（如果 $X=\mathbb{R}$，就是我们熟悉的xy平面）。对角线就是所有形如 $(x,x)$ 的点构成的集合，即直线 $y=x$。
   • 自反性 $x \sim x$ 意味着对所有 $x$，序对 $(x,x)$ 都必须在关系 $\mathcal{R}$ 中。
   • 几何图像: 这意味着代表关系 $\mathcal{R}$ 的图形必须包含整个对角线。如果关系图形在对角线上有任何“断点”，那么自反性就不成立。
2. 对称性的几何意义:
   • “(ii) 表明集合 $\mathcal{R}$ 关于对角线是对称的”:
   • 对称性要求如果 $(x,y) \in \mathcal{R}$，那么 $(y,x) \in \mathcal{R}$。
   • 在坐标平面上，点 $(x,y)$ 和点 $(y,x)$ 正是关于对角线 $y=x$ 对称的两个点。
   • 几何图像: 这意味着代表关系 $\mathcal{R}$ 的图形必须是轴对称图形，其对称轴就是对角线 $y=x$。如果你沿着对角线 $y=x$ 对折这张图，图形会完美重合。
3. 传递性的几何意义:
   • “然而，直接描述 (iii) 的几何意义并不简单。”: 作者指出，与自反性和对称性不同，传递性没有一个简单直观的几何图像。
   • 传递性要求：如果 $(x,y) \in \mathcal{R}$ 并且 $(y,z) \in \mathcal{R}$，那么 $(x,z) \in \mathcal{R}$。
   • 尝试理解: 我们可以想象一个“跳跃”的过程。从 $x$ 轴上的点 $x$ 出发，垂直向上找到一个点 $(x,y)$ 在 $\mathcal{R}$ 中。然后从这个 $y$ 出发，水平向右找到一个点 $(y,z)$ 也在 $\mathcal{R}$ 中。传递性就要求，由起点 $x$ 和终点 $z$ 构成的“快捷方式”点 $(x,z)$ 也必须在 $\mathcal{R}$ 中。这个过程不像轴对称那样一目了然。

这里给出了任何集合 $X$ 上都必然存在的两种最极端、最“平凡”的等价关系。

• (i) 相等关系 (Equality Relation):
• 定义: 两个元素等价，当且仅当它们是同一个元素。这是最严格的等价关系。
• 验证:
• 自反性: $x=x$，显然成立。
• 对称性: 如果 $x=y$，那么 $y=x$，显然成立。
• 传递性: 如果 $x=y$ 且 $y=z$，那么 $x=z$，显然成立。
• “这里 $\mathcal{R}=\Delta_{X}$”: 它的关系集合 $\mathcal{R}$ 只包含所有形如 $(x,x)$ 的序对，这正是我们之前定义的对角线集合 $\Delta_X$。
• 意义: 这是最“细”的划分，每个元素自成一类，和其他任何元素都“不等价”。

• (ii) 普遍关系 (Universal Relation):
• 定义: 集合 $X$ 中的任意两个元素都相互等价。
• “对于所有 $x, y \in X$，关系 $x \sim y$”: 这是最宽松的等价关系。
• 验证:
• 自反性: $x \sim x$。因为所有元素都等价，所以自然成立。
• 对称性: 如果 $x \sim y$，那么 $y \sim x$。因为所有元素都等价，这两个条件都是无条件成立的。
• 传递性: 如果 $x \sim y$ 且 $y \sim z$，那么 $x \sim z$。同样，因为所有元素都等价，所有条件都无条件成立。
• “这里 $\mathcal{R}=X \times X$”: 它的关系集合 $\mathcal{R}$ 包含了所有可能的序对，即整个笛卡尔积空间 $X \times X$。
• 意义: 这是最“粗”的划分，所有元素都被归为同一类。

这两个例子重申了之前在引言中提到的几何和向量的例子，并明确指出它们是等价关系。

• (iii) 全等与相似:
• “所有平面三角形集合上的全等关系”:
• 集合 $X$: 所有平面三角形。
• 关系 $\sim$: $T_1 \sim T_2$ 当且仅当 $T_1$ 全等于 $T_2$。
• 验证:
• 自反性: 任何三角形都和自身全等。成立。
• 对称性: 如果 $T_1$ 全等于 $T_2$，那么 $T_2$ 也全等于 $T_1$。成立。
• 传递性: 如果 $T_1$ 全等于 $T_2$，且 $T_2$ 全等于 $T_3$，那么 $T_1$ 也全等于 $T_3$。成立。
• “同样地，三角形的相似关系”:
• 关系 $\approx$: $T_1 \approx T_2$ 当且仅当 $T_1$ 相似于 $T_2$。
• 验证: 自反性（自己和自己相似）、对称性（你和我相似，我也和你相似）、传递性（你和我相似，我和他相似，则你和他相似）都成立。所以相似也是一个等价关系。

• (iv) 向量的等价:
• 集合 $X$: $\mathbb{R}^n$ 中所有有向线段（定位向量）的集合。
• 关系 $\sim$: $\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}}$ 当且仅当 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}$。
• 验证:
• 自反性: $\overrightarrow{\mathbf{p q}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p q}}$，因为 $\mathbf{q}-\mathbf{p} = \mathbf{q}-\mathbf{p}$。成立。
• 对称性: 如果 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}}$，即 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}$，那么显然 $\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}=\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}$，所以 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}}$。成立。
• 传递性: 如果 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}}$ 且 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{2} \mathbf{q}_{2}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{3} \mathbf{q}_{3}}$，那么我们有 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}$ 和 $\mathbf{q}_{2}-\mathbf{p}_{2}=\mathbf{q}_{3}-\mathbf{p}_{3}$。根据等号的传递性，我们得到 $\mathbf{q}_{1}-\mathbf{p}_{1}=\mathbf{q}_{3}-\mathbf{p}_{3}$，这意味着 $\overrightarrow{\mathbf{p}_{1} \mathbf{q}_{1}} \sim \overrightarrow{\mathbf{p}_{3} \mathbf{q}_{3}}$。成立。
• “很容易验证（习题 1.12）”: 作者将完整的代数证明作为一个练习留给了读者，但上面的分析已经展示了证明的思路。

这个例子非常深刻，它用等价关系来定义“集合的大小相同”这一基本概念，并将其推广到无限集。这个关系被称为“等势”（Equinumerosity）。

1. 定义“大小相同”:
   • “我们可以通过说存在从 $A$ 到 $B$ 的双射来定义两个集合 $A$ 和 $B$ 何时具有相同数量的元素。”:
   • 对于有限集，这很直观。如果集合 $A=\{a,b,c\}$ 和 $B=\{1,2,3\}$，我们可以建立一个一一对应（双射），比如 $f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3$。能建立这种一一对应，就说明它们的元素个数相同。
   • 这个定义的强大之处在于，它不依赖于“数数”，因此可以推广到无限集。我们说自然数集 $\mathbb{N}$ 和偶数集 $E$ “大小相同”，因为我们可以建立一个双射 $f(n) = 2n$。
2. 一个重要的技术性限制:
   • “这是一个等价关系，前提是我们限制 $A$ 和 $B$ 是某个给定集合的子集。”: 这里提到了一个集合论中的技术要点。
   • “我们不能仅仅将其定义为所有集合的‘集合’上的等价关系，因为所有集合的‘集合’太大了，不构成一个集合”: 在朴素集合论中，考虑“包含所有集合的集合”会导致逻辑矛盾，最著名的就是罗素悖论。
   • 解决方案: 为了避免这种悖论，我们必须在一个“可控”的范围内讨论问题。我们先指定一个足够大的“宇宙集合” $U$（比如实数集 $\mathbb{R}$），然后我们只讨论 $U$ 的子集之间的关系。
   • “例如，我们可以为所有 $A, B \subseteq \mathbb{R}$ 定义此关系，即 $A, B \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$”: $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 是 $\mathbb{R}$ 的幂集（power set），即 $\mathbb{R}$ 所有子集构成的集合。我们就在 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 这个大集合上定义我们的等价关系。
3. 验证三公理:
   • 作者在这里详细地走了一遍验证过程，这本身也是一个教学示范。
   • (1) 自反性: $A \sim A$。
   • 需要证明: 对任何集合 $A$，存在一个从 $A$到 $A$ 的双射。
   • 证明: 恒等函数 $\text{Id}_A(x) = x$ 就是这样一个双射。所以成立。
   • (2) 对称性: 如果 $A \sim B$，那么 $B \sim A$。
   • 已知: $A \sim B$ 意味着存在一个双射 $f: A \to B$。
   • 需要证明: 存在一个双射 $g: B \to A$。
   • 证明: 我们知道双射函数必有逆函数 $f^{-1}: B \to A$。并且，一个函数是双射的充要条件是它的逆也是双射。所以 $f^{-1}$ 就是我们需要的从 $B$到 $A$ 的双射。所以成立。
   • (3) 传递性: 如果 $A \sim B$ 且 $B \sim C$，那么 $A \sim C$。
   • 已知: 存在双射 $f: A \to B$ 和双射 $g: B \to C$。
   • 需要证明: 存在一个双射 $h: A \to C$。
   • 证明: 我们知道两个双射函数的复合 $g \circ f$ 仍然是一个双射函数，且它的定义域是 $A$，陪域是 $C$。所以 $h = g \circ f$ 就是我们需要的双射。所以成立。

这是数论中最核心的等价关系——同余关系。

1. 从一个简单的例子开始 (模2同余):
   • “$n$ 和 $m$ 是等价的 ... 如果它们都是偶数或都是奇数”: 这是按“奇偶性”进行分类。所有偶数被看作一类，所有奇数被看作另一类。
   • “另一种说法是 $n \equiv m(\bmod 2)$ 当且仅当 $n-m$ 是偶数”: 这是对“奇偶性相同”的代数刻画。
   • 如果 $n, m$ 都是偶数，$n=2k_1, m=2k_2$，则 $n-m = 2(k_1-k_2)$ 是偶数。
   • 如果 $n, m$ 都是奇数，$n=2k_1+1, m=2k_2+1$，则 $n-m = 2(k_1-k_2)$ 是偶数。
   • 如果一个偶数一个奇数，$n=2k_1, m=2k_2+1$，则 $n-m = 2(k_1-k_2)-1$ 是奇数。
   • “当且仅当 $2$ 整除 $n-m$”: “是偶数”的定义就是“能被2整除”。
2. 推广到一般模数 n:
   • “更一般地，如果 $n \in \mathbb{N}$ 是一个固定的自然数（模数），并且 $a, b \in \mathbb{Z}$，我们定义 ...”: 我们将“模2”推广到“模n”，其中n是任何一个固定的正整数。
   • “$a \equiv b \quad(\bmod n) \Longleftrightarrow n \mid(b-a)$”: 这是模n同余的形式化定义。
   • $a \equiv b \pmod{n}$: 读作 "$a$ 同余于 $b$ 模 $n$ "。
   • $n \mid(b-a)$: 读作 "$n$ 整除 $b-a$"。它的意思是 $b-a$ 是 $n$ 的一个整数倍，即存在一个整数 $k$，使得 $b-a = kn$。
   • 直观理解: $a$ 和 $b$ 同余模 $n$，意味着 $a$ 和 $b$ 除以 $n$ 得到的余数是相同的。例如，$17 \equiv 7 \pmod 5$，因为 $17=3\times5+2$, $7=1\times5+2$，它们的余数都是2。从定义的角度看，$17-7=10$，而 $5 \mid 10$。
3. 验证三公理:
   • 作者再次完整地演示了验证过程。
   • 自反性: $a \equiv a \pmod n$。
   • 需要证明: $n \mid (a-a)$。
   • 证明: $a-a=0$。任何非零整数 $n$ 都能整除 $0$ (因为 $0 = n \times 0$)。所以成立。
   • 对称性: 如果 $a \equiv b \pmod n$, 那么 $b \equiv a \pmod n$。
   • 已知: $n \mid (b-a)$。这意味着存在整数 $k$ 使得 $b-a=kn$。
   • 需要证明: $n \mid (a-b)$。
   • 证明: $a-b = -(b-a) = -(kn) = n(-k)$。因为 $-k$ 也是一个整数，所以 $a-b$ 是 $n$ 的整数倍。所以 $n \mid (a-b)$。成立。
   • 传递性: 如果 $a \equiv b \pmod n$ 且 $b \equiv c \pmod n$, 那么 $a \equiv c \pmod n$。
   • 已知: $n \mid (b-a)$ 和 $n \mid (c-b)$。这意味着存在整数 $k_1, k_2$ 使得 $b-a = k_1n$ 且 $c-b = k_2n$。
   • 需要证明: $n \mid (c-a)$。
   • 证明: 我们把已知的两个等式相加：$(b-a) + (c-b) = k_1n + k_2n$。化简左边得到 $c-a = (k_1+k_2)n$。因为 $k_1+k_2$ 也是一个整数，所以 $c-a$ 是 $n$ 的整数倍。所以 $n \mid (c-a)$。成立。

这个例子是模n同余在连续集（实数集 $\mathbb{R}$）上的一个推广，用来处理角度的周期性。

1. 定义:
   • 集合: 实数集 $\mathbb{R}$。
   • 关系: $\theta_1 \equiv \theta_2 \pmod{2\pi}$。
   • 准则: $\theta_2 - \theta_1 = 2k\pi$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$ (对于某个整数 k)。这意味着两个实数的差是 $2\pi$ 的整数倍。
   • 命名: 借用了数论中同余的说法，这里的模数是 $2\pi$。
2. 与整数同余的类比:
   • 整数同余: $b-a = kn$。$a,b,k,n$ 都是整数。
   • 角的同余: $\theta_2 - \theta_1 = k(2\pi)$。$\theta_1, \theta_2, 2\pi$ 是实数，但关键的 $k$ 必须是整数。这表明我们关心的是相差了整数“圈数”。
3. 验证:
   • “类似于上述的论证表明 ... 是一个等价关系”: 作者在此省略了详细证明，因为它和模n同余的证明逻辑完全一样。
   • 自反性: $\theta - \theta = 0 = 0 \times (2\pi)$。$k=0$ 是整数。成立。
   • 对称性: 如果 $\theta_2 - \theta_1 = k(2\pi)$，那么 $\theta_1 - \theta_2 = (-k)(2\pi)$。$-k$ 也是整数。成立。
   • 传递性: 如果 $\theta_2 - \theta_1 = k_1(2\pi)$ 且 $\theta_3 - \theta_2 = k_2(2\pi)$，那么 $\theta_3 - \theta_1 = (\theta_3 - \theta_2) + (\theta_2 - \theta_1) = (k_1+k_2)(2\pi)$。$k_1+k_2$ 也是整数。成立。
4. 直观意义:
   • “这里直观上 $\theta_{1} \equiv \theta_{2} (\bmod 2 \pi)$ 如果 $\theta_{1}$ 和 $\theta_{2}$ ‘定义相同的角’”: 这正是这个等价关系的动机。在三角学和几何学中，一个角的大小如果相差 $360^\circ$（即 $2\pi$ 弧度）的整数倍，那么它的终边位置是完全一样的，所有三角函数值（sin, cos, tan等）也都一样。这个等价关系就是要把所有这些在几何上等效的角度值归为一类。

这个例子回到了之前讨论过的从整数构造有理数的话题，并给出了该关系满足等价关系三公理的详细证明。

1. 回顾定义:
   • 集合 $X$: $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\})$，即所有分母不为零的整数序对的集合。
   • 关系 $\sim$: $(a,b) \sim (c,d)$ 当且仅当 $ad=bc$。
2. 验证三公理:
   • 自反性: $(a,b) \sim (a,b)$。
   • 需要证明: $ab = ba$。
   • 证明: 整数乘法满足交换律，所以 $ab=ba$ 恒成立。满足。
   • 对称性: 如果 $(a,b) \sim (c,d)$，那么 $(c,d) \sim (a,b)$。
   • 已知: $ad=bc$。
   • 需要证明: $cb=da$。
   • 证明: 根据整数乘法的交换律和等式的对称性，$ad=bc \implies bc=ad \implies cb=da$。满足。
   • 传递性: 如果 $(a,b) \sim (c,d)$ 且 $(c,d) \sim (e,f)$，那么 $(a,b) \sim (e,f)$。
   • 已知: 1) $ad=bc$ 和 2) $cf=de$。
   • 需要证明: $af=be$。
   • 证明: 这是最需要技巧的一步。
3. 从等式1) $ad=bc$ 开始，两边同时乘以 $f$，得到 $adf = bcf$。
4. 我们观察到右边的 $cf$ 可以用等式2)中的 $de$ 来替换。所以 $bcf = b(cf) = b(de) = bde$。
5. 于是我们得到了核心等式 $adf = bde$。
6. “由于 $d \neq 0$，我们可以消去它”: 这是关键一步。因为我们的集合 $X$ 的定义就保证了序对的第二个分量不为零，所以 $d, f$ 等都不为零。在整数等式两边可以安全地消去非零公因子。
7. $adf=bde$ 两边消去 $d$，得到 $af=be$。
8. 这正是 $(a,b) \sim (e,f)$ 的定义。所以传递性成立。

这个例子提出了一种非常通用和强大的构造等价关系的方法：利用一个函数。

1. 构造方法:
   • “假设 $X$ 是一个集合，$f: X \rightarrow Y$ 是从 $X$ 到某个集合 $Y$ 的一个固定函数”: 我们需要两个集合 $X, Y$ 和一个从 $X$ 到 $Y$ 的函数 $f$。$X$ 是我们要定义关系的集合，$f$ 是我们用来定义关系的“尺子”。
   • “定义 $a \sim b$ 如果 $f(a)=f(b)$”: 这是关系的定义。$X$ 中的两个元素 $a$ 和 $b$ 是等价的，当且仅当它们在函数 $f$ 下的像（即函数值）是相同的。
2. 验证:
   • “$\sim$ 是一个等价关系的事实，遵循 $Y$ 上相等的基本性质”: 作者指出，这个关系之所以是等价关系，其根本原因在于目标集合 $Y$ 上的“等于号” = 本身是一个等价关系。
   • 详细验证:
   • 自反性: 需要证明 $a \sim a$。
   • 这等价于证明 $f(a) = f(a)$。
   • 在集合 $Y$ 中，等号满足自反性，所以 $f(a)=f(a)$ 恒成立。满足。
   • 对称性: 需要证明如果 $a \sim b$，那么 $b \sim a$。
   • 已知 $a \sim b$，即 $f(a) = f(b)$。
   • 需要证明 $b \sim a$，即 $f(b) = f(a)$。
   • 在集合 $Y$ 中，等号满足对称性。如果 $f(a)=f(b)$，那么 $f(b)=f(a)$。满足。
   • 传递性: 需要证明如果 $a \sim b$ 且 $b \sim c$，那么 $a \sim c$。
   • 已知 $a \sim b$ (即 $f(a)=f(b)$) 和 $b \sim c$ (即 $f(b)=f(c)$)。
   • 需要证明 $a \sim c$，即 $f(a)=f(c)$。
   • 在集合 $Y$ 中，等号满足传递性。如果 $f(a)=f(b)$ 且 $f(b)=f(c)$，那么 $f(a)=f(c)$。满足。

通过展示反例，可以更好地理解成为等价关系需要满足的严格条件。

• (i) 函数的图像:
• “函数 $f: X \rightarrow X$ 的图像”: 一个函数的图像 (graph) 是一个关系，其关系集合 $\mathcal{R}_f = \{(x, f(x)) : x \in X\}$。
• “仅当它是恒等式时才是一个等价关系”:
• 首先，检查自反性: $x \sim x$ 要求 $(x,x) \in \mathcal{R}_f$ 对所有 $x$ 成立。这意味着 $f(x)=x$ 必须对所有 $x$ 成立。这正是说函数 $f$ 必须是恒等函数 $\text{Id}_X$。
• 结论: 如果一个函数的图像要成为一个等价关系，它首先必须满足自反性，这就迫使它必须是恒等函数。而我们已经知道恒等关系（即相等关系）确实是一个等价关系。所以，只有恒等函数的图像是等价关系。任何其他函数的图像连自反性都无法满足。
• （注：这里作者的论述其实可以更深入。一个函数的图像关系要满足对称性，需要如果 $(x,y)$ 在图像中，则 $(y,x)$ 也在图像中。即 $y=f(x)$ 蕴含 $x=f(y)$。这意味着 $f(f(x))=x$，即 $f$ 是自身的逆。传递性要求 $y=f(x), z=f(y) \implies z=f(x)$，这总是成立的。所以一个函数图像是等价关系的充要条件是：$f(x)=x$。）

• (ii) 序关系:
• “在 $X=\mathbb{R}$ 上：$\leq$ 不具有对称性”: 如前所述，$3 \leq 5$ 但 $5 \not\leq 3$。所以对称性不成立。因此“$\leq$”不是等价关系。（尽管它满足自反性和传递性，这种关系被称为偏序）。
• “而 $<$ 既不具有自反性也不具有对称性”:
• 自反性: $x < x$ 不成立。所以不满足。
• 对称性: 如果 $x < y$，那么 $y < x$ 也不成立。所以不满足。
• 因此“$<$”更不是等价关系。（它只满足传递性，这种关系被称为严格偏序）。

• (iii) 人类情感关系:
• “关系 $x$ 爱 $y$”: 这是一个非常直观的社会学例子。
• 自反性: $x$ 爱 $x$ (自爱)？不一定每个人都这样。
• 对称性: 如果 $x$ 爱 $y$，那么 $y$ 爱 $x$ (两情相悦)？显然不是普遍规律。
• 传递性: 如果 $x$ 爱 $y$， $y$ 爱 $z$，那么 $x$ 爱 $z$？这更是无稽之谈。
• 结论: 情感关系的复杂性使得它无法满足等价关系的任何一条公理。

这是一个非常重要的提醒，旨在澄清一个潜在的混淆点。

1. 第一层：关系是序对的集合:
   • “关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集”: 这是关系的形式化定义。一个关系的“本体”是一个由序对组成的集合。
2. 第二层：等价关系是元素间的性质:
   • “但等价关系是关于 $X$ 的元素而言的”: 当我们使用等价关系时，我们的思考和语言是集中在 $X$ 的元素上的。我们说“元素 $x$ 等价于元素 $y$”，而不是说“序对 $(x,y)$ 怎么样”。
   • “序对部分之所以出现，是因为关系 $\mathcal{R}$ 是所有满足 $x \sim y$ 的 $(x, y)$ 的集合”: 序对和关系集合 $\mathcal{R}$ 是我们用来使“等价”这个概念严格化的幕后技术工具。在舞台上表演的是元素 $x, y$ 和符号 $\sim$。
3. 第三层：混淆的根源:
   • “上述等价关系的两个例子涉及的集合 $X$ ... 本身恰好是序对的集合”: 这是问题的关键。
   • 在向量的例子中，我们的集合 $X$ 是所有“有向线段”的集合。而一个有向线段 $\overrightarrow{\mathbf{pq}}$ 本身是由一对点 $(\mathbf{p}, \mathbf{q})$ 定义的。所以 $X$ 的元素本身就看起来像序对。
   • 在有理数的例子中，我们的集合 $X$ 是 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\})$。这个集合的元素，比如 $(a,b)$，其定义就是序对。
   • “这是一个偶然（但令人困惑）的情况”: 这种巧合会造成思维上的混乱。
   • 混淆: 学生可能会误以为等价关系是定义在“序对的集合”上的关系，即 $X \times X$ 的元素之间的关系。
   • 澄清: 不对。等价关系是定义在 $X$ 的元素之间的关系。只不过在某些例子里，$X$ 的元素恰好是序对。
   • 正确的层次:
   • 对于有理数：我们的基础集合是 $X = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\})$。$X$ 的一个元素是 $u=(a,b)$。另一个元素是 $v=(c,d)$。我们定义等价关系 $u \sim v$。这个关系 $\mathcal{R}$ 是 $X \times X$ 的一个子集，也就是说，$\mathcal{R}$ 的一个元素是 $((a,b), (c,d))$ 这样一个“序对的序对”。

这段话引入了等价关系的直接产物和核心概念——等价类。

1. 等价类的目的:
   • “等价关系是一种将集合 $X$ 划分为不相交子集的并集的方法”: 这句话开宗明义，指出了等价关系的最终作用：对一个集合进行划分（partition）。就像切蛋糕一样，把一个大的集合 $X$ 切成若干个互不重叠的小块，而所有小块合在一起又正好是原来的大集合。每一个这样的小块，就是一个等价类。
2. 等价类的形式化定义:
   • “给定一个等价关系 $\sim$ 和 $x \in X$”: 定义等价类需要两个要素：一个定义好的等价关系 $\sim$ 和一个出发点元素 $x$。
   • “定义 $[x]$，即 $x$ 的等价类，如下：$[x]=\{y \in X: y \sim x\}$”:
   • $[x]$: 这是 $x$ 所在的等价类的标准记号，方括号把元素括起来。
   • $\{y \in X: y \sim x\}$: 这是用集合构建法给出的定义。
   • $y \in X$: 我们要找的元素都来自原始集合 $X$。
   • $y \sim x$: 筛选条件是：一个元素 $y$ 能被放入 $[x]$ 这个“包”里，当且仅当 $y$ 与我们选定的元素 $x$ 等价。
   • 通俗地说: $[x]$ 就是 $X$ 中所有与 $x$ “是一类”的元素的集合。
3. 等价类的基本性质:
   • “因此我们有 $x \in [x]$，因为 $x \sim x$”: 由于等价关系的自反性，任何元素 $x$ 都和它自身等gaoji，所以 $x$ 必然满足进入 $[x]$ 这个集合的条件。这意味着，任何一个元素都属于它自己所定义的那个等价类。
   • “特别是，一个等价类绝不为空”: 因为至少有 $x$ 本身在 $[x]$ 里面，所以等gaoji类不可能是空集。
4. 代表元 (Representative):
   • “给定一个等gaoji类 $[x]$，$[x]$ 的一个代表元是 $[x]$ 的一个元素”: 等价类是一个集合。这个集合里的任何一个元素，都可以被选出来作为这个集合的“代表”。
   • “换句话说，它是一个满足 $y \sim x$ 的 $y \in X$”: 这只是重复了等价类的定义。
   • “因此 $x$ 总是 $[x]$ 的一个代表元”: 我们用 $x$ 来命名了这个等价类 $[x]$，那么 $x$ 自然是它的一个（通常也是最直接的）代表元。但需要强调的是，如果 $y \in [x]$，那么 $y$ 也是 $[x]$ 的一个代表元。事实上，后面我们会证明，$[x]$ 和 $[y]$ 是同一个集合。
   • “（有些人用记号 $\bar{x}$ 表示 $[x]$。）”: 这是一个常见的替代记号，在不同教材中可能会遇到。

这个超长的例子是将前面介绍的所有等价关系的例子，逐一说明它们产生的等gaoji类分别是什么。这是对等价类概念的集中应用和巩固。

• (i) 相等关系:
• $[x] = \{y \in X : y=x\}$. 与 $x$ 等价的只有 $x$ 自己。所以等价类就是只包含 $x$ 的单元素集合 $\{x\}$。

• (ii) 普遍关系:
• $[x] = \{y \in X : y \sim x\}$. 因为所有元素都相互等价，所以 $X$ 中所有 $y$ 都满足 $y \sim x$。因此等价类是整个集合 $X$。

• (iii) 全等关系:
• $[T]$: 是所有与三角形 $T$ 全等的三角形构成的集合。这个集合通常是无限的（可以平移到任何位置）。

• (iv) 向量等价:
• $[\overrightarrow{\mathbf{pq}}]$: 所有与有向线段 $\overrightarrow{\mathbf{pq}}$ 具有相同大小和方向（即相同位移向量 $\mathbf{q}-\mathbf{p}$）的有向线段的集合。这个集合，在物理和工程中，就被定义为“自由向量”或简称“向量”。

• (v) 等势关系:
• $[A]$: 所有与集合 $A$ “一样大”（即与 $A$ 等势）的集合的集合。这个等价类，就被定义为“基数”（cardinal number）。例如，所有有两个元素的集合（如 $\{1,2\}, \{a,b\}$）属于同一个等gaoji类，这个等价类我们就称之为基数“2”。

• (vi) 模n同余:
• 模2: 有两个等价类。[0] 是所有偶数的集合。[1] 是所有奇数的集合。
• 模n: 有 $n$ 个等价类。它们由余数来标记：[0], [1], ..., [n-1]。
• $[a]$ 的描述: 整数 $k$ 属于等价类 [a]，当且仅当 $k$ 除以 $n$ 的余数是 $a$。这等价于 $k = nq+a$ 对于某个整数 $q$。
• 命名: 这些等价类被称为模n同余类。
• 记号: 为了避免混淆，有时会写成 [a]_n 来指明模数是 $n$。

• (vii) 角的同余:
• $[\theta]$: 所有与实数 $\theta$ 相差 $2\pi$ 整数倍的实数的集合。例如，$[\pi/2] = \{\dots, \pi/2-4\pi, \pi/2-2\pi, \pi/2, \pi/2+2\pi, \dots\}$。
• 这个等价类，就被我们理解为几何上的一个“角”。

• (viii) 有理数:
• $[(a,b)]$: 所有与整数序对 $(a,b)$ 等价的序对的集合。例如，$[(1,2)] = \{(1,2), (2,4), (-1,-2), \dots\}$。
• 这个等价类，就被我们定义为“有理数”。
• 记号: 我们用熟悉的分数记号 $a/b$ 来代表整个等价类 $[(a,b)]$。
• 整数与有理数的关系:
• 考虑函数 $f(a) = a/1$ (即 $[(a,1)]$)。这个函数将每个整数 $a$ 映射到一个有理数。
• 这个映射是单射，因为如果 $f(a)=f(b)$，即 $a/1=b/1$ 或 $(a,1)\sim(b,1)$，根据定义有 $a\cdot 1 = b\cdot 1$，即 $a=b$。
• 识别: 因为这个映射保持了原有的结构（比如加法：$a/1+b/1=(a+b)/1$），所以我们就可以把整数 $a$ 和有理数 $a/1$ 看作是“同一个东西”。这使得整数集 $\mathbb{Z}$ 可以被看作是有理数集 $\mathbb{Q}$ 的一个子集。
• 0和1的例子:
• 有理数 $0$ 就是等价类 $[(0,1)]$。任何分数 $(a,b)$ 与 $(0,1)$ 等价，当且仅当 $a\cdot 1 = b \cdot 0$，即 $a=0$。
• 有理数 $1$ 就是等价类 $[(1,1)]$。任何分数 $(a,b)$ 与 $(1,1)$ 等价，当且仅当 $a\cdot 1 = b \cdot 1$，即 $a=b$。

• (ix) 函数诱导的等价关系:
• $[x] = \{y \in X : f(y)=f(x)\}$.
• “等价类是 f 图像中 z 的原像 $f^{-1}(z)$ 的集合。（为什么？）”:
• 设 $z = f(x)$，这是 $x$ 在 $Y$ 中的像。
• 原像 $f^{-1}(z)$ 的定义是 $\{y \in X : f(y)=z\}$。
• 把 $z=f(x)$ 代入，我们得到 $f^{-1}(f(x)) = \{y \in X : f(y)=f(x)\}$。
• 这和我们上面对 $[x]$ 的定义完全一样。
• “特别是，$[x]=f^{-1}(f(x))$”: 这给出了计算由函数诱导的等价类的一个非常简洁的公式。先计算 $x$ 的值 $f(x)$，然后求这个值在 $Y$ 中的原像，就得到了 $x$ 的等gaoji类。

这部分提出了关于等价类最重要的一个定理，它精确地描述了等价类是如何“划分”一个集合的。

1. 定理陈述:
   • “设 $\sim$ 是集合 $X$ 上的等价关系，并设 $[x]$ 是 $x$ 的等价类。”: 设定背景。
   • “如果 $[x] \cap[y] \neq \emptyset$，则 $[x]=[y]$”: 这是定理的核心。
   • $[x] \cap[y] \neq \emptyset$: 读作“等价类 $[x]$ 和等价类 $[y]$ 的交集不是空集”。这意味着，这两个等价类至少有一个共同的元素。
   • 则 $[x]=[y]$: 那么，这两个等价类必然是完全相同的两个集合。
   • 一句话总结: 两个等价类，要么完全没有交集（不相交），要么就完全是同一个集合。绝不可能出现“部分重叠”的情况。这是一个“有你没我，有我没你”的“全或无”定律。
   • “因此，对于每个 $x \in X$，$x$ 恰好包含在一个等价类中。”: 这是上述核心定理的直接推论。
   • 包含在一个: 我们已经知道 $x \in [x]$，所以每个元素至少属于一个等价类。
   • 恰好一个: 如果 $x$ 还属于另一个等价类 $[y]$，那么 $x \in [x] \cap [y]$。根据定理，这意味着 $[x]=[y]$。所以那个“另一个”等价类其实就是它自己所在的等价类。因此，每个元素只属于唯一的一个等价类。
2. 证明解析:
   • 这是一个非常经典和重要的证明，值得仔细学习它的逻辑步骤。
   • “假设存在某个 $z \in[x] \cap[y]$”: 证明从定理的“如果”部分开始。我们假设找到了一个同时在 $[x]$ 和 $[y]$ 中的元素 $z$。
   • “根据定义，$z \sim x$ 且 $z \sim y$”: 这是根据等价类的定义。因为 $z \in [x]$，所以 $z \sim x$。因为 $z \in [y]$，所以 $z \sim y$。
   • “利用 $\sim$ 的对称性，也有 $x \sim z$”: 已知 $z \sim x$，根据对称性，立刻得到 $x \sim z$。
   • “因此 $x \sim y$”: 这是一次关键的传递性应用。我们有 $x \sim z$ (刚推导出) 和 $z \sim y$ (已知)。所以根据传递性，$x \sim y$。这一步通过“桥梁” $z$ 建立了 $x$ 和 $y$ 之间的直接等价关系。
   • “我们首先证明 $[x] \subseteq[y]$”: 为了证明两个集合相等 ($[x]=[y]$)，标准的做法是证明双向包含，即 $[x] \subseteq[y]$ 和 $[y] \subseteq[x]$。
   • “给定 $w \in[x]$”: 为了证明 $[x] \subseteq[y]$，我们从 $[x]$ 中任意取一个元素 $w$。我们的目标是证明 $w$ 也必须在 $[y]$ 中。
   • “根据定义 $w \sim x$”: 这是因为 $w$ 是从 $[x]$ 中取出的。
   • “由于 $x \sim y$，根据传递性 $w \sim y$”: 这是第二次关键的传递性应用。我们有 $w \sim x$ (已知) 和 $x \sim y$ (我们之前推导出的关键结论)。所以根据传递性，$w \sim y$。
   • “因此根据定义 $w \in[y]$”: 因为 $w \sim y$，所以 $w$ 满足了进入等价类 $[y]$ 的条件。
   • “从而 $[x] \subseteq[y]$”: 因为我们从 $[x]$ 中任取的一个元素 $w$ 都被证明在 $[y]$ 中，所以集合 $[x]$ 是集合 $[y]$ 的子集。
   • “然后由对称性得出 $[y] \subseteq[x]$”: 这里的“对称性”指的是论证的对称性。我们从 $z \in [x] \cap [y]$ 出发证明了 $[x] \subseteq [y]$。整个论证过程没有偏袒 $x$ 或 $y$。如果我们一开始把 $x$ 和 $y$ 的角色互换，完全相同的逻辑会告诉我们 $[y] \subseteq [x]$。
   • “因此 $[x]=[y]$”: 既然 $[x] \subseteq [y]$ 并且 $[y] \subseteq [x]$，那么这两个集合必然相等。证明完毕。

1. 商集的定义 (定义 2.2.4):
   • “对于等价关系 $\sim$，我们用 $X / \sim$ 表示所有等价类的集合 $\{[x]: x \in X\}$”:
   • $X / \sim$: 读作 "$X$ 模 $\sim$" (X modulo sim) 或 "$X$ 的商集" (quotient set of X by sim)。这是商集的标准记号。
   • $\{ [x] : x \in X \}$: 这是商集的内容。它的元素不是 $X$ 里的元素 $x$，而是由 $x$ 代表的等价类 $[x]$。商集是一个“集合的集合”。
   • 过程:
2. 从 $X$ 出发。
3. 在 $X$ 上定义等价关系 $\sim$。
4. 这个关系将 $X$ 划分成若干个等价类 $[x], [y], \dots$。
5. 我们把所有这些等价类（它们本身是集合）收集起来，装进一个更大的新集合里，这个新集合就是商集 $X / \sim$。
   • 特殊记号:
   • $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$: 这是模n同余产生的商集的专用记号。它代表了所有模n同余类的集合。
   • $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$: 这是模 $2\pi$ 同余产生的商集的专用记号。它代表了所有角度等价类的集合。
6. 商集与划分 (备注 2.2.5):
   • “$X / \sim$ 是幂集 $\mathcal{P}(X)$ 的一个子集”:
   • 幂集 $\mathcal{P}(X)$: $X$ 的所有子集构成的集合。
   • 商集 $X/\sim$ 的每个元素（即每个等价类 $[x]$）本身是 $X$ 的一个子集。所以，商集自然是幂集的一个子集。
   • “具有以下性质：...”: 这段话重申了命题 2.2.3 的结论，从“划分”的角度来描述商集的特征。
   • “$X$ 的两个位于 $X / \sim$ 中的子集要么相等，要么不相交”: 任何两个不同的等价类没有共同元素。
   • “$X$ 的每个元素都位于 $X / \sim$ 中的某个（因此恰好一个）集合中”: 所有等价类合起来，正好覆盖了整个 $X$，不多也不少。
   • “换句话说：$X$ 是等价类的不相交并集”: 这是对“划分”最精炼的数学描述。$X = \bigcup_{[x] \in X/\sim} [x]$，并且对于任意两个不同的 $[x], [y] \in X/\sim$，有 $[x] \cap [y] = \emptyset$。
   • “我们也说 $X / \sim$ 中的子集是 $X$ 的一个划分”: 给出了划分 (Partition) 这个术语的正式定义。商集就是 $X$ 的一个划分。

这段话描述了前述过程的逆过程：我们不从等价关系开始，而是从一个划分开始，反向构造出一个等价关系。

1. 出发点：一个划分:
   • “假设 $X$ 是不相交子集的并集”: 我们的起点是对集合 $X$ 的一个划分。
   • “$\mathcal{I} \subseteq \mathcal{P}(X)$”: $\mathcal{I}$ 是一个由 $X$ 的子集组成的集合。$\mathcal{I}$ 就是那个划分。
   • “使得对于每个 $x \in X$，恰好存在一个 $A \in \mathcal{I}$ 使得 $x \in A$”: 这是对“划分”的严格定义，和我们之前从等价类得到的性质完全一样：
   • 存在一个: 覆盖性，没有元素被漏掉。
   • 恰好一个: 不相交性，没有元素被重复计算。
2. 构造关系:
   • “定义 $x \sim y$ 如果存在一个 $A \in \mathcal{I}$ ... 使得 $x, y \in A$”: 这是从划分定义关系的规则。两个元素 $x,y$ 是等价的，当且仅当它们属于划分 $\mathcal{I}$ 中的同一个子集 $A$。
3. 验证与结论:
   • “那么我们可以验证 $\sim$ 是一个等价关系”:
   • 自反性: $x \sim x$？因为 $x$ 属于某个子集 $A$，所以 $x$ 和 $x$ 都在 $A$ 中。成立。
   • 对称性: 如果 $x \sim y$，即 $x, y$ 都在某个 $A$ 中，那么 $y, x$ 也都在那个 $A$ 中。所以 $y \sim x$。成立。
   • 传递性: 如果 $x \sim y$ ( $x, y$ 在 $A_1$ 中) 且 $y \sim z$ ( $y, z$ 在 $A_2$ 中)。因为 $y$ 同时在 $A_1$ 和 $A_2$ 中，而划分的子集是不相交的，所以 $A_1$ 必须等于 $A_2$。因此 $x, y, z$ 都在同一个子集 $A_1$ 中。所以 $x, z$ 也在 $A_1$ 中，即 $x \sim z$。成立。
   • “使得 $X / \sim=\mathcal{I}$”: 这个新构造的等价关系 $\sim$ 所产生的商集，不多不少，正好就是我们一开始出发的那个划分 $\mathcal{I}$。

这个示例继续之前的例子，着重描述由不同等价关系产生的商集本身是什么。

• (i) 相等关系:
• 等价类: 每个元素自成一类，即 $\{x\}$。
• 商集 $X/=$: 是所有这些单元素集合的集合，即 $\{\{x\} : x \in X\}$。
• “存在从 $X$ 到 $\{\{x\}: x \in X\}$ 的由 $f(x)=\{x\}$ 定义的明显双射”: 我们可以定义一个函数 $f$，它把每个元素 $x$ 映射到包含它的那个集合 $\{x\}$。这个函数显然是一个一一对应（双射）。
• “因此，我们将 $X /=$ 与 $X$ 识别”: 因为 $X$ 和 $X/=$ 之间存在一个如此自然的双射，它们在结构上是完全一样的。为了方便，我们通常就把它们看作是同一个东西。我们不去区分“数字3”和“只包含数字3的集合 $\{3\}$”。

• (ii) 普遍关系:
• 等价类: 只有一个等价类，就是整个集合 $X$。
• 商集 $X/\sim$: 是一个只包含一个元素的集合，这个元素就是集合 $X$ 本身。即 $X/\sim = \{X\}$。这是一个单元素集合 (singleton set)。

• (vi) 模n同余:
• 商集 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$: 是所有模n同余类的集合。
• $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\left\{[0]_{n},[1]_{n}, \ldots,[n-1]_{n}\right\}$: 因为任何整数除以 $n$ 的余数必然是 $0, 1, \dots, n-1$ 中的一个，所以总共只有 $n$ 个不同的同余类。我们可以用这 $n$ 个数作为代表元来标记这 $n$ 个等价类。
• “特别是，$\#(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})=n$”: 商集的大小就是等价类的个数，所以是 $n$。这个商集是一个有限集，尽管原始集合 $\mathbb{Z}$ 是无限的。

• (vii) 角的同余:
• 商集 $\mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z}$: 是所有“角”的集合。它的每个元素都是一个形如 $\{\dots, \theta-2\pi, \theta, \theta+2\pi, \dots\}$ 的集合。

• (viii) 有理数:
• 商集 $(\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim$: 就是所有“分数等价类”的集合。
• “我们用 $\mathbb{Q}$ 表示所有等价类 ... 的集合”: 这就是有理数集 $\mathbb{Q}$ 的严格定义。$\mathbb{Q}$ 就是这个商集。

1. 定义:
   • “存在一个自然满射函数 $\pi: X \rightarrow X / \sim$”:
   • $\pi$: 这是这个函数的通用名称，希腊字母pi，源于“投影”（projection）。
   • $\pi: X \to X/\sim$: 函数的定义域是原始集合 $X$，陪域是商集 $X/\sim$。
   • 自然 (natural): 这个词意味着这个函数的定义方式非常直观，是伴随着商集的构造而天然存在的，不需要任何额外的选择或技巧。
   • 满射 (surjective): 意味着陪域 $X/\sim$ 中的任何一个元素（即任何一个等价类）都至少有一个来自定义域 $X$ 的元素映射到它。
   • “通常称为投影”: 这是它的标准名称。
   • “定义如下：对于所有 $x \in X$, $\pi(x)=[x]$”: 这就是函数的规则。它把 $X$ 中的每个元素 $x$，映射到包含 $x$ 的那个等价类 $[x]$。
2. 为什么是满射:
   • 商集 $X/\sim$ 中的任意一个元素是一个等价类，我们不妨叫它 $A$。
   • 因为等价类不为空，所以 $A$ 中至少包含一个元素，我们叫它 $a_0$。
   • 根据投影函数 $\pi$ 的定义，$\pi(a_0) = [a_0]$。
   • 而 $a_0$ 所在的等价类 $[a_0]$ 正是 $A$ 本身。所以 $\pi(a_0) = A$。
   • 因此，对于商集中任意一个等价类 $A$，我们都能在 $X$ 中找到一个元素（就是 $A$ 里的任何一个元素）映射到它。所以 $\pi$ 是满射。

1. “最佳”代表元的概念:
   • “有时等价类可以有一个‘最佳’代表元”: 一个等价类是很多等价元素的集合，它们在关系 $\sim$ 的意义下地位平等。但是，我们常常可以根据一些额外的、关系 $\sim$ 之外的标准，从每个等价类中挑选一个“最标准”、“最简单”或“最方便”的元素作为这个类的唯一指定代表。
   • 例子:
   • 向量: 在所有相互平移可达的定位向量中，我们选起点在原点的那个作为“最佳”代表元。
   • 有理数: 在所有等价的分数形式 $\{1/2, 2/4, -3/-6, \dots\}$ 中，我们选最简形式 $1/2$ 作为“最佳”代表元。
   • 模n同余: 在每个同余类中，我们选那个范围在 $0$到 $n-1$ 之间的余数作为“最佳”代表元。比如在模3下，我们用 0, 1, 2，而不用 3, 4, 5。
   • 角: 在每个角度等价类中，我们选那个范围在 $[0, 2\pi)$ 内的实数作为“主值”或“最佳”代表元。
   • “然而，对于一般的等价关系，并不总是能以自然的方式挑选出好的代表元”: 并非所有等价关系都能找到这样自然的、唯一的“最佳”代表元。例如，考虑平面上所有三角形的全等关系，哪个全等三角形算是“最佳”的？没有一个自然的选择标准。
2. 代表元选择与截面 (备注 2.2.8):
   • 这部分将“选择代表元”这个动作与函数概念联系起来。
   • “对于每个等价类 $[x] \in X / \sim$，选择一个代表元 $y \in[x]$，等同于一个函数 $s:(X / \sim) \rightarrow X$”:
   • 函数 $s$ 的定义域是商集 $X/\sim$，陪域是原始集合 $X$。
   • $s$ 的作用是：给它一个等价类（比如“[河北籍]”），它必须从这个等价类中挑选出一个具体的元素（比如“张三”）作为输出。
   • 所以，“为每个等价类都指定一个代表元”这个过程，就定义了一个从商集到原集合的函数 $s$。
   • “使得对于所有 $[x] \in X / \sim, [s([x])]=[x]$”: 这是对函数 $s$ 的要求。$s$ 的输出 $s([x])$ 必须是 $[x]$ 的一个成员。这个条件用等价类记号写出来就是，你选出的代表 $s([x])$，它自己所在的等价类，必须得是你当初输入的那个等价类 $[x]$。
   • “等价地，... $\pi \circ s = \operatorname{Id}_{X/\sim}$”:
   • 我们来分析复合函数 $\pi \circ s$。它的定义域是 $X/\sim$，陪域也是 $X/\sim$。
   • 对于商集中的任意元素 $[x]$，我们计算 $(\pi \circ s)([x]) = \pi(s([x]))$。
   • 根据 $s$ 的性质， $s([x])$ 是 $[x]$ 中的一个元素，我们不妨叫它 $y$。所以 $y \in [x]$，且 $[y]=[x]$。
   • 那么 $\pi(s([x])) = \pi(y) = [y]$。
   • 因为 $[y]=[x]$，所以 $(\pi \circ s)([x]) = [x]$。
   • 这个复合函数的作用是，输入任何一个等价类 $[x]$，输出的还是 $[x]$。这正是商集 $X/\sim$ 上的恒等函数 $\operatorname{Id}_{X/\sim}$。
   • “$s$ 是 $\pi$ 的一个右逆”: 在函数理论中，如果 $f \circ g = \text{Id}$，那么 $g$ 称为 $f$ 的右逆。这里 $\pi \circ s = \operatorname{Id}_{X/\sim}$，所以 $s$ 是自然投影 $\pi$ 的一个右逆。
   • “这样的右逆称为 $\pi$ 的一个截面 (section)”: 这是函数 $s$ 的正式名称。